axiomă

[ştiinţă] (din gr. axioma = principiu evident prin sine însuşi; din gr. axioun = a considera vrednic, potrivit, derivat din axios = vrednic)

Axioma este o propoziţie evidentă prin ea însăşi, care nu necesită demonstrare. Conceptul apare în Elementele lui Euclid (300 î. Hr), lucrare care constituie

„în mod incontestabil documentul cel mai vechi şi mai complet care să ne fi parvenit şi în care artimetica şi geometria să fie prezentate sub formă axiomatică. Compus din treisprezece volume, ele prezintă o înlănţuire de propoziţii şi de demonstraţii care nu fac apel decât la propoziţii deja demonstrate sau la enunţuri initiale (definiţii, postulate şi noţiuni comune), introduse anterior. În plus, aceste propoziţii şi demonstrarea lor fac referinţă la mărimi, numere şi figuri considerate în generalitatea lor şi nu la valori sau figuri particulare.” ¹

Ansamblul axiomelor, cu alte cuvinte al tuturor propoziţiilor nedemonstrabile pentru că sunt evidente prin ele însele şi din care derivă toate celelalte demonstrabile, se numeşte axiomatică. Ansamblul tuturor propoziţiilor, axiome şi propoziţii derivate, constituie un sistem axiomatic. Axiomele joacă acelaşi rol în matematică pe care îl joacă postulatele în fizică: sunt puncte de plecare pentru toate dezvoltările ulterioare, acestea din urmă neputând să le pună niciodată primelor în discuţie valoarea de adevăr. O astfel de teorie în care axiomele sunt la adăpost de orice constestare în termeni de valoare de adevăr poartă numele de „consistentă”. Geometria lui Euclid număra iniţial cinci postulate, dar s-a arătat ulterior incompletă, ceea ce a determinat pe Hilbert să crească numărul axiomelor până la douăzeci şi şase.

Apariţia geometriilor neeuclidiene, în care postulatul lui Euclid („printr-un punct exterior unei drepte nu poate trece decât o singură dreaptă paralelă şi numai una”) nu mai este valabil, a permis transformarea conceptului antic de axiomatică într-unul decuplat de reprezentarea geometrică intuitivă (adecvată spaţiului tridimensional cartezian). Hilbert propune geometrii în care punctele, dreptele şi planele nu mai au semnificaţia fizică curentă. Aceste geometrii, aparent decuplate de realitate, vor contribui mai târziu la o mai profundă şi adecvată descriere a realităţii. Este cazul teoriei generale a relativităţii, în cadrul căreia se propune ideea (revoluţionară) că „masa dă spaţiului o geometrie hiperbolică”. ²

Kurt Gödel va revoluţiona gândirea axiomatică în secolul douăzeci demonstrând că într-un sistem axiomatic vor exista întotdeauna propoziţii „indecidabile”, adică a căror valoare de adevăr poate fi calculată doar într-un timp infinit (lărgind sistemul, aceste propoziţii devin decidabile, însă apar deopotrivă altele noi indecidabile). Nici o listă explicită de axiome, suficient de mare pentru a forma baza matematicilor ordinare, nu poate să fie în acelaşi timp completă (fiecare propoziţie poate fi demonstrată sau respinsă) şi consistentă³.

Bibliografie: 1. Allain Hereman, Axiomatisation et formalisation, în vol. Dictionnaire d’historie et philosophie des sciences (sous la direction de Dominique Lecourt), ed. Quadrige/Puf, Paris, 1999, p. 91; 2. Wikipedia (versiunea franceză); 3. Ibidem.  

A se vedea şi: formalism/formal.