incompletitudine

[ştiinţă]

În cercetările din matematică s-a pus problema dacă adevărul poate fi obţinut printr-un proces algoritmic. Natura adevărului, în chip evident, excede matematica. Restricţionând domeniul de cercetare, s-a pus întrebarea dacă adevărul matematic, judecata sigură privind ce este fals şi adevărat în matematică, sunt realităţi identificate prin procedee algoritmice. Hilbert, Cantor, Poincaré au dezvoltat diferite metode de demonstraţie matematică. Multe din ideile pe care s-au bazat aceste demonstraţii au fost influenţate de conceptul numerelor infinite al lui Cantor, folosind mulţimile infinite. Definirea conceptelor în termeni de mulţimi a fost importantă pentru logica matematică şi acest procedeu a fost introdus de logicianul german Gottlob Frege.

În 1902, logicianul Bertrand Russell a înlăturat certitudinea dată de demonstraţiile lui Cantor, prezentând paradoxul său legat de mulţimi. Russell împreună cu Alfred Whitehead au dezvoltat un puternic sistem axiomatic pentru încadrarea tipurilor de raţionamente matematice în sistemul lor. Aceste reguli logice urmăreau evitarea paradoxului. Acest sistem era însă foarte complicat. Matematicianul David Hilbert a realizat un sistem mai uşor, încercând să includă toate tipurile de raţionament corect. El voia să demonstreze că acest sistem nu este contradictoriu, rezultând astfel că matematica oferă cunoaşterea certă. Esenţa programului lui Hilbert este spulberată de genialul logician austriac Kurt Gödel. Acesta, prin teoremele sale de incompletitudine arată că orice sistem de reguli formale, suficient de larg cât să cuprindă elemente de aritmetică, cuprinde propoziţii nedemonstrabile.

Adevărul matematic scapă demonstraţiei în măsura în care „acest adevăr matematic nu poate fi închis în nici o schemă formală. Adevărul matematic este ceva ce trece dincolo de formalismul pur [...] Noţiunea de adevăr matematic depăşeşte întregul concept al formalismului. Adevărul matematic are un caracter absolut şi dat de la Dumnezeu. Orice sistem formal are un caracter provizoriu şi oarecum artificial. Astfel de sisteme joacă un rol însemnat în discuţiile matematice, dar reprezintă doar un ghid parţial (sau aproximativ) către aflarea adevărului. Adevărurile matematice depăşesc realizările omeneşti.” ^!

Teorema de incompletitudine a lui Gödel arată că niciodată o teorie care presupune o gândire matematică axiomatică nu poate fi completă, în sensul că poate avea anumite limite interne sau că nu poate descrie complet realitatea fizică modelată matematic. Teorema lui Gödel este o expresie a ceea ce există structural în realitatea creată a lumii, şi anume, limita. Există o corespondenţă între teoremele lui Gödel din logică şi principiul de nedeterminare al lui Heisenberg din fizica cuantică prin faptul că ele exprimă limita inerentă a oricărei teorii şi gândiri axiomatice. Astfel teoria ştiinţifică nu mai poate pretinde că este rezultatul exclusiv al unei gândiri axiomatice în care intuiţia şi experienţa spirituală nu au nici un rol.

Bibliografie: 1. Roger Penrose, Mintea noastră ... cea de toate zilele, ed. Tehnică, Bucureşti, 1996, p. 127.

A se vedea şi: formalism/formal.