logică

[ştiinţă] (din gr. logike [techne] = arta raţionamentului)

Gândirea axiomatică dezvoltată printr-o logică formală nu poate cuprinde cu exactitate realitatea şi nici nu o poate exprima. Logica de la începutul secolului XX se dezvoltă plecându-se de la necesitatea perfecţionării aparatului logic în geometrie şi de la utilizarea metodelor algebrice şi de calcul în logică. Însă iluzia construirii unei axiomatici absolute este spulberată de teoremele lui Gödel. Gödel pleacă de la tendinţa de aritmetizare a logicii (dezvoltată de Hilbert) şi ajunge să formuleze această sintaxă în chiar interiorul aritmeticii propriu-zise. Gödel transformă logica într-un spaţiu semantic în care adevărul nu este demonstrabil printr-o metodă care implică folosirea aritmeticii, relaţionând în acest fel subiectul cercetător cu obiectul de cercetat prin intermediul unei meta-matematici care nu presupune doar gândirea axiomatică.

Gândirea teologică este paradoxală. Ea nu se epuizează în cadrul unor scheme conceptuale deduse prin raţionamente analitice. Paradoxul impune o logică a unităţii contrariilor, posibilă de asumat doar într-o cunoaştere dată de un anumit tip de experienţă. Teologia, inclusiv în exprimarea ei formală şi conceptuală nu se reduce la o doctrină mai mult sau mai puţin plauzibilă pentru logica duală exclusivistă. Coerenţa ei este înrădăcinată în experienţa eclezială, logica ei fiind una duhovnicească prin care este posibilă unificarea contrariilor. Sunt numeroase exemple în care învăţătura teologică este o mărturie a logicii contrariilor. Ştiinţa contemporană este deschisă din ce în ce mai mult spre asumarea acestui tip de logică.

În ultimă instanţă, și păstrându-se distincţiile cuvenite, complexitatea realităţii şi a vieţii presupune depăşirea unei logici eminamente deductive. Asumarea reciprocă a acestei logici, din perspectivă teologică şi ştiinţifică poate constitui calea unui dialog între cunoaşterea ştiinţifică şi cea teologică.

La începutul secolului XX în câmpul cercetării matematice se pune tot mai insistent problema coerenţei logice conţinute de o teorie matematică. Modelele construite până în acel moment erau fundamentate pe diferite principii logice, însă probele pentru demonstrarea coerenţei interne a teoriei rămâneau relative. În funcţie de axiomele presupuse se puteau invoca diverse argumente în susţinerea consistenţei logice, însă acestea nu aveau pretenţia de a fi absolute.

În căutarea unei probe definitive pentru a demonstra consistenţa logică absolută a teoriei matematice, Hilbert se angajează într-un efort de formalizare completă a unui sistem deductiv. Formalizarea presupune o golire de semnificaţie a propoziţiilor existente în sistem. Cu alte cuvinte, orice element al sistemului are o semnificaţie nulă, fiind doar un operator folosit pentru calcul. Teoremele sistemului în întregime formalizat reprezintă o succesiune de semne golite de orice semantică, simple construcţii ale unor combinaţii algoritmice. Plecând de la un anumit număr de axiome, teoremele din cadrul unui sistem formalizat integral sunt consecinţe ale transformării combinatorice a unui ansamblu de propoziţii în altul, ambele fiind caracterizate de o nulitate semantică.

În programul său de aflare a unei demonstraţii absolute a coerenţei logice, Hilbert face o distincţie între elementele matematice (semnele matematice care nu au nici un fel de semnificaţie) şi afirmaţiile matematice care presupun un discurs plecând de la semnele matematice. Sistemul formalizat reprezintă matematica, în timp ce descrierea acestui sistem desemnează domeniul metamatematicii. Cheia probei absolute pentru demonstrarea coerenţei logice este dată de distincţia dintre matematică şi metamatematică. Hilbert speră să explice sintaxa metamatematicii prin sistemul formalizat al matematicii. Demonstraţia coerenţei (sau consistenţei) logice nu utilizează nici o procedură care face la un apel la nu număr infinit de proprietăţi ale semnelor matematice şi nici nu se serveşte de un număr infinit de operaţii matematice. Aflarea unei asemenea proceduri finite este echivalentă cu găsirea demonstraţiei absolute a coerenţei logice.

La începutul lunii septembrie din 1930, după 6 luni de la primirea diplomei de doctor în matematică, tânărul Gödel este invitat la Konigsberg pentru a participa la un colocviu în cadrul căruia urma să i se decerneze lui Hilbert titlul de cetăţean al oraşului. Gödel, aproape necunoscut în acel moment, va primi câteva minute pentru a-şi prezenta propriile consideraţii despre teorema de completitudine. Însă Gödel va vorbi despre altceva, cu totul surprinzător pentru auditoriul de atunci, expuzându-şi sumar conţinutul primei teoreme prin care arăta fragilitatea programului lui Hilbert. Plecând de la aritmetica lui Peano, considerată adevărată, Gödel arată că nu este nevoie de o probă absolută a coerenţei logice dată de ansamblul unor metode elementare (dezideratul lui Hilbert).

Aritmetica lui Peano, recunoscută ca având coerenţă logică, implică enunţuri elementare non-demonstrabile. Acestea formează un sistem aritmetic care include toate metodele elementare care nu au metode de demonstraţie corespondente. Acest lucru contravine cu programul lui Hilbert. A doua teoremă a lui Gödel va fi prezentată câteva luni mai târziu şi va fi o aplicare dezvoltată a primei teoreme, considerând însăşi noţiunea de coerenţă aritmetică un enunţ adevărat dar non-demonstrabil. Cu alte cuvinte, orice teorie care conţine un număr suficient de propoziţii aritmetice are o coerenţă logică ce nu va putea fi niciodată demonstrată printr-o metodă matematică.

Implicaţiile acestei teoreme de incompletitudine a lui Gödel presupun mutaţii fundamentale în epistemologia ştiinţifică. Idealul manifestat explicit în cadrul scientismului recunoştea existenţa unei mathesis universalis capabilă să dobândească adevărul în mod indubitabil, prin matematică. Demonstraţia matematică era atuul ultim şi indiscutabil al probei adevărului de tip ştiinţific. Întreaga ştiinţă modernă va fi una matematizată, legitimitatea şi autoritatea adevărului fiind date de certitudinea matematică. Demonstraţia matematică operează ca un instrument de tip magic prin care credinţa religioasă (necesară pentru împărtăşirea Adevărului lumii) este înlocuită cu o altă credinţă, şi anume aceea în adevărul ştiinţific demonstrat matematic. Teorema lui Gödel arată că demonstraţia matematică are o limită internă şi că însăşi structura gândirii axiomatice bazată pe o logică formală are o limită internă.

Pentru Gödel nu există o continuitate directă între adevăr şi demonstrabilitatea lui bazată pe matematică. Hilbert consideră demonstrabilitatea matematică şi adevărul ca fiind două noţiuni coextensive, de aceeaşi natură. Logica lui Gödel indică faptul că adevărul este o realitate care scapă gândirii discursive. S-ar putea spune că însăşi gândirea are o structură gödeliană care necesită paradoxul. Existenţa antinomiei în gândire nu înseamnă relativism sau confuzii logice. Paradoxul este un reper al logicii care arată că realitatea şi viaţa nu pot fi epuizate în formule demonstrabile matematic.

Bibliografie: Adrian Lemeni, pr. Razvan Ionescu, Teologie ortodoxă şi ştiinţă, ed. IBMBOR, Bucureşti, 1997, pp. 398-405.

A se vedea şi: logos, demonstraţie.